高等数学（共109讲北大彭立忠）

名称：高等数学（共109讲北大彭立忠）
分类：大学理工
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时间：2019-06-15 20:39

课程目录

第002集实数（二）

课程介绍

本课程是动力工程系、机械工程系等各专业的一门必修的重要基础理论课，它是为培养适应我国社会主义现代化建设所需要的动力工程技术、机械工程技术等方面的高本质技能型专门人才办事的。

通过本课程的学习应使学生具备函数和极限、一元函数微分学、一元函数积分学及常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习有关专业基础课程和专业课程等奠定必要的数学基础。

此外，通过本课程的学习，进一步培养学生的数学素养，为学生走上工作岗位后的继续教育提供必需的知识储备。

课程的基本内容

1、函数的极限与连续

理解函数的概念以及复合函数、反函数、隐函数、分段函数和初等函数的概念；理解无穷小的概念；理解函数连续性的概念。

了解极限的性质与极限存在的两个准则；了解连续函数的性质和初等函数的连续性；了解闭区间连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。

知道基本初等函数的性质及其图形；知道数列极限和函数极限（包罗左极限与右极限）的描述性定义；知道无穷大的概念及其与无穷小的关系以及无穷小阶的比力方法；知道函数极限与连续的关系。

掌握函数的表示法；掌握极限的四则运算法则；掌握利用两个重要极限求相关极限的方法。

会列出简单问题的函数关系；会求连续函数和分段函数的极限；会判断分段函数在分界点处的连续性。

2、导数与微分

理解导数的概念及微分的概念。

了解导数的几何意义与简单的物理意义；了解高阶导数的概念。

知道可导与连续的关系；知道可导与可微的关系。

掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；掌握隐函数求导法、对数求导法。

会求较简单函数的高阶（二阶、三阶）导数；会求函数的微分；会利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

3、导数的应用

理解函数的凹凸性及拐点的定义；理解曲率的概念。

了解简单函数图像的描绘。

知道罗尔定理和拉格朗日中值定理，知道它们的几何意义。

掌握函数单调性的判别方法及简单应用；掌握函数极值、最大值和最小值的求法；掌握用洛必达法则求不决式（0/0，∞/∞，0••∞, ∞-∞）的极限；掌握函数的凹凸性及拐点的求法。

会求出满足定理条件中的；会解一些简单的优化应用题；会求曲线的拐点，渐近线；会计算曲率及曲率半径。

4、不定积分

理解原函数与不定积分的概念。

知道不定积分的性质；知道积分运算与微分运算的关系。

掌握不定积分的基本性质和基本积分公式；掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。

5、定积分

理解定积分的概念；理解定积分的微元法。

了解定积分的基本性质；了解无穷区间上的广义积分的概念。

知道牛顿——莱布尼茨公式；知道定积分中值定理；知道定积分的几何意义。

掌握定积分的换元积分法和分部积分法；掌握利用定积分计算平面图形的面积；掌握利用定积分求解简单的旋转体的体积。

会计算一些简单的广义积分。

6、常微分方程

理解常数变易法。

了解微分方程、阶、解、通解、初始条件、特解等概念；了解一阶线性微分方程的简单的应用；了解二阶线性微分方程通解的结构。

掌握可分离变量微分方程的解法；掌握用公式求一阶线性微分方程的通解；掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。

会求自由项为简单的指数、多项式和三角函数之积的二阶常系数线性非齐次方程的特解。

三、课程的基本要求

1．学习本课程需具备初等数学的基本知识，包罗代数学、三角、平面几何、平面解析几何、立体几何等。

2．按照高职高专教育的特点，在课程教学中，要求以应用为目的，以必需、够用为度，即：教学中应以培养学生运算和知识应用能力为主，对理论性较强的定理、公式的推导过程不作要求；注重基本运算的训练，不追求过分复杂的计算和变换；教学中应注意讲授所学数学知识在解决实际问题方面的应用，让学生能运用这些知识来分析和解决实际问题。

3．学完本课程后，应使学生具备较强的自学能力；比力熟练的基本运算能力；综合运用所学知识去分析和解决问题的能力；初步的抽象概括能力以及必然的逻辑推理能力。