基础拓扑学课程介绍

1. 使学生掌握拓扑学的基本概念和术语，如拓扑空间、开集、闭集、邻域、基等。
2. 帮助学生理解和掌握常见的拓扑性质，如连通性、紧致性、分离性等。
3. 培养学生运用拓扑学方法解决问题的能力，提高逻辑思维和抽象思维能力。
4. 引导学生了解拓扑学在数学其他领域以及物理学、计算机科学等相关学科中的应用。

1. 拓扑空间的定义与基本概念
   • 介绍拓扑空间的公理化定义，以及与之相关的元素，如点、集合、子集等。
   • 讲解开集、闭集、邻域、内点、边界点等基本概念，并通过实例加深理解。
2. 拓扑基与子空间拓扑
   • 学习拓扑基的概念和性质，以及如何通过拓扑基来生成拓扑。
   • 探讨子空间拓扑的定义和特点，以及在子空间中开集和闭集的判定。
3. 连续映射与同胚
   • 理解连续映射的定义和性质，包括在拓扑空间之间的连续性判定方法。
   • 研究同胚的概念，即拓扑空间之间的一一连续映射，以及同胚在保持拓扑性质方面的作用。
4. 拓扑性质
   • 深入研究连通性，包括连通空间的定义、性质和判定方法，以及连通分支的概念。
   • 学习紧致性，如紧致空间的定义、有限覆盖性质和相关定理。
   • 了解分离性，如豪斯多夫空间等的定义和特征。
5. 基本群与覆叠空间
   • 介绍基本群的概念和计算方法，以及基本群在拓扑空间分类中的应用。
   • 学习覆叠空间的定义、性质和构造，以及覆叠空间与基本群的关系。

课程目录：

(1)介绍(人人都能懂+部分能懂)
(2)介绍(续)
*预备知识与参考书说明
(3)拓扑空间、子空间拓扑
(4)极限点与闭集
(5)稠密集、内点外点边界点
(6)拓扑基
(7)连续映射
(8)Peano曲线
(9)紧性
(10)乘积拓扑
(11)范畴乘积
(12)乘积空间的紧性、其它紧性
(13)连通性
(14)连通分支
(15)道路连通性
(16)等价关系、商映射
(17)商空间引言-Mobius带_part 1
(18)Mobius带_part 2(抽象构造)
(19)商空间、粘合映射
(20)将空间的一部分粘起来
(21)将一个空间粘到另一个空间
(22)crosscap
(23)handles
(24)曲面
(25)CW复形
(26)拓扑群
(27)S^3与Hamilton四元数代数
(28)SU(2)到SO(3)
(29)群作用
(30)齐性空间
(31)同伦
(32)基本群、fundamental groupoid
(33)基本群函子、Fundamental groupoid 函子
(34)群的自由积
(35)生成元与关系、fibered coproduct
(36)Seifert&van Kampen定理groupoid版本
(37)Seifert&van Kampen定理
(38)S^1的基本群part1
(39)S^1的基本群part2
(40)轨道空间的基本群
(41)同伦等价
(42)基本群的同伦不变性
(43)基本群的计算part1
(44)基本群的计算part2
(45)Galois覆盖
(46)Galois覆盖基本定理
(47)证明Galois覆盖基本定理
(48)注、万有覆盖存在的条件
(49)万有覆盖之构造
(50)万有覆盖是Galois覆盖
(51)覆盖分类定理
(52)Abel群、自由Abel群
(53)有限生成Abel群
(54)单纯复形
(55)单纯同调的定义
(56)单纯同调计算举例
(57)正合列
(58)snake lemma及其应用
(59)相对(单纯)同调
(60)奇异同调之定义
(61)奇异同调的同伦不变性
(62)相对(奇异)同调
(63)切除定理
(64)切除定理的推论
(65)单纯同调vs奇异同调
(66)应用
(67)Eilenberg-Steenrod公理
(68)CW复形的拓扑_1
(69)CW复形的拓扑_2
(70)胞腔同调
(71)关于球面一点并的一个引理
(72)胞腔同调的计算
(73)欧拉-庞加莱公式