初中数学知识点快速掌握

一、数与代数

（一）有理数

1. 概念
   • 有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称。例如，、是整数，、是分数，它们都是有理数。
   • 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
2. 运算
   • 有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如，，。异号两数相加，绝对值相等时和为；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如，，。
   • 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。例如，，。
   • 有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得正，绝对值相乘。例如，，，。任何数与相乘都得。
   • 有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，，。

（二）实数

1. 无理数
   • 无理数是无限不循环小数。例如，、都是无理数。
2. 实数的运算
   • 实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号里面的。例如，计算，先算，然后算乘法，最后算加减。

（三）代数式

1. 整式
   • 单项式是数与字母的乘积，单独的一个数或一个字母也是单项式。例如，、、都是单项式。单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和。例如，在单项式中，系数是，次数是。
   • 多项式是几个单项式的和。例如，是多项式。多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。在中，次数是。
   • 整式的加减：实质是合并同类项。同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。例如，与是同类项，可以合并为。
   • 整式的乘法：包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。例如，（单项式乘单项式），（单项式乘多项式），（多项式乘多项式）。
   • 整式的除法：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。例如，。多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。例如，。
2. 分式
   • 分式是形如的式子，其中、是整式，且中含有字母。例如，、都是分式。
   • 分式有意义的条件是分母不为。例如，分式，当时才有意义。
   • 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变。例如，（且）。
   • 分式的运算：包括分式的加减、乘除。分式加减法，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减。例如，。分式乘除法，分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。例如，，。

（四）方程与不等式

1. 一元一次方程
   • 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式的方程。例如，是一元一次方程。
   • 解法：移项、合并同类项、系数化为。对于方程，移项得，合并同类项得，系数化为得。
2. 二元一次方程组
   • 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的方程组。例如，是二元一次方程组。
   • 解法：代入消元法和加减消元法。代入消元法是将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元。例如，对于方程组，由得，代入得，解得，再把代入得。加减消元法是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数。例如，对于上述方程组，将两个方程相加得，解得，再代入得。
3. 一元二次方程
   • 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程。一般形式是。例如，是一元二次方程。
   • 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
     • 直接开平方法适用于形如的方程，例如，，则，解得或。
     • 配方法是将方程通过配方转化为直接开平方法的形式。例如，对于，配方得，即，然后用直接开平方法解得。
     • 公式法是对于一元二次方程，其根为。例如，对于方程，，，，代入公式得，解得或。
     • 因式分解法是将方程化为两个一次因式乘积等于的形式，即，则或。例如，对于方程，分解因式得，解得或。
4. 不等式与不等式组
   • 不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号的方向改变。例如，若，则；若，，则；若，，则。
   • 一元一次不等式的解法：与一元一次方程类似，移项、合并同类项、系数化为，但要注意不等号的方向。例如，解不等式，移项得，合并同类项得，系数化为得。
   • 一元一次不等式组：是由几个一元一次不等式组成的不等式组。其解集是各个不等式解集的公共部分。例如，不等式组的解集是。

二、图形与几何

（一）几何初步

1. 线与角
   • 直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点。两点确定一条直线。
   • 角是有公共端点的两条射线组成的图形。角的度量单位是度、分、秒，，。角的分类有锐角（大于小于）、直角（等于）、钝角（大于小于）、平角（等于）、周角（等于）。
   • 角的运算包括角的和差倍分。例如，若，，则。
2. 相交线与平行线
   • 相交线：两条直线相交，对顶角相等，邻补角互补。例如，直线与相交于点，与是对顶角，则；与是邻补角，则。
   • 垂线：两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂线段最短。例如，从直线外一点向直线作垂线，垂足为，则线段是点到直线的垂线段，从点到直线的其他线段都比长。
   • 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
   • 平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。例如，若与是同位角，且，则直线与平行。
   • 平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。例如，直线，与是同位角，则。

（二）三角形

1. 三角形的基本概念
   • 三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。三角形的内角和是，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。例如，在中，，是的外角，则。
2. 三角形的分类
   • 按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
   • 按边分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等）、等边三角形（三边都相等）。
3. 全等三角形
   • 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。
   • 判定定理：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（直角、斜边、直角边，适用于直角三角形）。例如，在和中，若，，，则（SSS）。
4. 等腰三角形与等边三角形
   • 等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等。三线合一（底边上的高、中线、顶角平分线互相重合）。例如，在等腰中，，则，若是底边上的中线，则也是底边上的高和顶角的平分线。
   • 等边三角形的性质：三边相等，三个角都是。判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形。

（三）四边形

1. 平行四边形
   • 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
   • 性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。例如，在平行四边形中，，，(angle A=angle

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