一、课程概述
《2025 考研数学强化 36 讲》是为准备参加 2025 年全国硕士研究生招生考试的考生精心打造的数学强化课程。该课程旨在帮助考生在完成基础阶段学习后，进一步深化对考研数学知识的理解和掌握，通过对数学核心考点的深度剖析、典型例题的详细讲解以及强化训练，提升考生的解题能力和数学思维，为考生在考研数学考试中取得优异成绩提供有力支持。
二、课程目标
知识深化目标：
使考生深入理解考研数学的基本概念、定理和公式，对数学知识体系有更透彻的认识，避免死记硬背，能够准确把握其内涵和外延。
帮助考生梳理数学各部分知识的内在联系，形成完整的知识网络，包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，以便在解题时能迅速调用相关知识。
解题能力提升目标：
培养考生的解题技巧和方法，通过对各类题型的分析和归纳，让考生掌握不同题型的解题思路和常用技巧，提高解题的准确性和速度。
提升考生综合运用知识解题的能力，使考生能够解决综合性强、难度较大的数学问题，如多章节知识点交叉的题目，增强应对复杂题目的信心。
数学思维培养目标：
培养考生的逻辑思维能力，使其在面对复杂数学问题时，能够通过严密的逻辑推理和演绎，找到解题的关键路径。
培养考生的创新思维能力，引导考生学会从不同角度思考问题，尝试多种解题方法，拓宽解题思路，提高解决数学问题的灵活性。
三、课程内容
高等数学部分：
函数、极限与连续：
深化函数的概念，包括函数的各种性质（单调性、奇偶性、周期性、有界性）及其应用，让考生对函数的性质有更深入的理解和运用。
深入剖析极限的概念、计算方法（包括极限的四则运算法则、洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒公式等），对极限的不同类型（数列极限、函数极限）进行详细讲解，让考生熟练掌握求极限的技巧和处理极限存在性问题的方法。
深入讲解函数的连续性和间断点，分析函数连续性的判定定理及间断点的分类，使考生能准确判断函数的连续性并找出间断点。
一元函数微分学：
详细讲解导数的概念、几何意义及物理意义，通过实例让考生更好地理解导数在不同场景中的应用。
对导数的计算法则（基本求导公式、复合函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程求导法则等）进行强化训练，使考生熟练掌握各种求导方法。
深入分析函数的单调性、凹凸性、极值和最值的判定和求解方法，通过典型例题让考生掌握利用导数研究函数性态的技巧。
深入探讨微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理），讲解定理的条件、结论及应用，通过大量例题让考生学会运用中值定理证明不等式、方程根的存在性等问题。
一元函数积分学：
深化不定积分和定积分的概念、性质，让考生明白积分的本质是一种极限运算，以及积分的几何和物理意义。
强化不定积分的计算方法（换元积分法、分部积分法等），通过各种积分形式（有理函数积分、三角函数积分等）的练习，让考生熟练掌握积分计算技巧。
深入讲解定积分的计算，包括牛顿 - 莱布尼茨公式的应用，以及利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积等几何应用。
对反常积分的概念、收敛性判别及计算进行详细讲解，使考生掌握反常积分的基本理论和计算方法。
多元函数微分学：
深入阐述多元函数的概念、极限、连续、偏导数、全微分等基本概念，通过对比一元函数，让考生理解多元函数的特点和区别。
详细讲解多元函数的求导法则（偏导数的计算、复合函数求导法则、隐函数求导法则等），通过例题让考生掌握多元函数求导的技巧和应用。
对多元函数的极值和最值问题进行深入分析，包括无条件极值和条件极值，让考生学会利用拉格朗日乘数法求解条件极值问题。
多元函数积分学：
详细讲解二重积分、三重积分的概念、性质和计算方法，包括直角坐标和极坐标下的二重积分计算，以及直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的三重积分计算。
深入探讨曲线积分（第一类曲线积分和第二类曲线积分）和曲面积分（第一类曲面积分和第二类曲面积分）的概念、计算方法和应用，让考生掌握曲线积分和曲面积分的计算技巧及两类积分之间的联系与转换。
对格林公式、高斯公式、斯托克斯公式进行深度讲解，使考生理解其几何和物理意义，以及在计算曲线积分和曲面积分中的应用。
无穷级数：
深化数项级数的概念、性质和收敛性判别法（正项级数、交错级数、任意项级数），让考生掌握级数收敛性的判别技巧。
详细讲解幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域的计算，以及幂级数的求和与展开，通过典型例题让考生学会幂级数的相关运算。
对傅里叶级数的概念、收敛定理及展开进行讲解，使考生了解傅里叶级数在函数逼近和信号处理等方面的应用。
线性代数部分：
行列式：
深入讲解行列式的定义、性质和计算方法（按行展开、利用行列式性质化简等），通过高阶行列式的计算让考生熟练掌握行列式的计算技巧。
对行列式在求解线性方程组（克莱姆法则）中的应用进行分析，让考生明白行列式与线性方程组的关系。
矩阵：
深化矩阵的概念、运算（加法、数乘、乘法、转置等），使考生掌握矩阵运算的规则和性质。
深入讲解矩阵的逆矩阵、伴随矩阵的概念和求法，让考生学会利用伴随矩阵和初等变换求逆矩阵。
对矩阵的秩的概念、性质及计算方法进行详细讲解，使考生掌握矩阵秩的计算和秩在矩阵运算中的应用。
向量：
详细阐述向量的线性表示、线性相关性的概念和判别方法，通过例题让考生掌握向量组线性相关性的判定。
对向量组的极大线性无关组和秩进行深入讲解，使考生理解其在向量空间中的重要性和求解方法。
深入探讨线性方程组的解的结构（齐次线性方程组和非齐次线性方程组），让考生掌握求解线性方程组的基础解系和通解的方法。
线性方程组：
深入分析线性方程组的矩阵表示形式，让考生从矩阵和向量的角度理解线性方程组的求解。
对线性方程组解的存在性、唯一性和求解方法（高斯消元法、矩阵的秩的方法等）进行详细讲解，通过不同类型的线性方程组求解问题，让考生掌握求解的步骤和技巧。
矩阵的特征值与特征向量：
详细讲解矩阵的特征值和特征向量的概念、计算方法和性质，让考生学会求矩阵的特征值和特征向量。
深入探讨相似矩阵的概念、性质及对角化的条件，使考生掌握矩阵可对角化的判定和对角化的方法。
对实对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质进行讲解，包括实对称矩阵的正交相似对角化，让考生明白实对称矩阵在二次型中的重要应用。
二次型：
深入阐述二次型的概念、矩阵表示和标准形，让考生掌握二次型的化标准形的方法（配方法、正交变换法）。
对二次型的正定性的判定方法进行详细讲解，使考生学会判断二次型的正定性及其在优化问题中的应用。
概率论与数理统计部分：
随机事件和概率：
深化随机事件的概念、关系和运算，让考生理解概率的公理化定义和性质。
详细讲解概率的计算方法（古典概型、几何概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等），通过大量实例让考生熟练掌握各种概率计算方法。
随机变量及其分布：
深入阐述随机变量的概念、分布函数的定义和性质，使考生掌握分布函数的计算和应用。
对离散型随机变量和连续型随机变量的分布（如二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布、指数分布等）进行详细讲解，包括概率分布列、概率密度函数的计算和性质。
对随机变量函数的分布进行深入探讨，让考生掌握求随机变量函数分布的方法。
多维随机变量及其分布：
详细讲解二维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数、条件分布函数的概念和计算方法。
对二维离散型随机变量和二维连续型随机变量的联合分布律、联合概率密度函数进行深入讲解，包括边缘分布律、边缘概率密度函数的计算。
对随机变量的独立性进行深入分析，使考生掌握判断随机变量独立性的方法。
随机变量的数字特征：
详细讲解期望、方差、协方差、相关系数的概念、性质和计算方法，通过实例让考生学会计算随机变量的数字特征。
对常见分布的数字特征进行总结，让考生熟练掌握利用已知分布计算数字特征的技巧。
对切比雪夫不等式及其应用进行讲解，使考生理解如何利用该不等式估计概率。
大数定律和中心极限定理：
深入阐述大数定律（切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律）和中心极限定理（独立同分布的中心极限定理、棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理）的内容和条件。
让考生理解大数定律和中心极限定理在实际问题中的应用，如用中心极限定理近似计算概率。
数理统计的基本概念：
深入讲解总体、样本、统计量的概念，让考生掌握样本均值、样本方差等常见统计量的计算和性质。
对三大抽样分布（χ² 分布、t 分布、F 分布）的定义、性质和分位数的计算进行详细讲解，使考生掌握抽样分布的应用。
参数估计：
详细阐述点估计的方法（矩估计法、最大似然估计法），让考生掌握如何根据样本对总体参数进行点估计。
对估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）进行深入讲解，使考生学会评价估计量的好坏。
对区间估计的概念和计算方法进行详细讲解，让考生掌握求置信区间的方法。
假设检验：
深入讲解假设检验的基本思想、步骤和方法，包括单个总体和两个总体的参数假设检验。
对正态总体参数的假设检验进行重点讲解，让考生掌握不同情况下假设检验的原假设和备择假设的设置及检验方法。
四、课程特色
强化提升：在基础之上进行强化，对重点知识进行深度挖掘，使考生能够突破知识瓶颈，提升数学水平。
讲练结合：在讲解知识点的同时，配有大量的典型例题和强化练习题，让考生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
系统全面：涵盖考研数学的所有重要考