⒈正数和负数的概念：

⑴ 负数：比 0 小的数。

⑵ 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数。

注意 ：①字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时， -a 是负数；当 a 表示负数时， -a 是正数；当 a 表示 0

时， -a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，

例如 +a,-a 就不能做出简单判断）

②正数有时也可以在前面加“ +”，有时“ +”省略不写。所以省略“ +”的正数的符号是正号。

③0 既不是正数，也不是负数。

2. 具有相反意义的量：

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：

零上 8℃表示为： +8℃；零下 8℃表示为： -8 ℃

3.0 表示的意义：

⑴ 0 表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；

⑵ 0 是正数和负数的分界线， 0 既不是正数，也不是负数。

二、有理数：

1. 有理数的概念：

⑴ 正整数、 0、负整数统称为整数（ 0 和正整数统称为自然数） ； ⑵ 正分数和负分数统称为分数；

⑶ 正整数， 0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解 ：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意 ：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像 -2,-4,-6,-8 …也是偶数， -1,-3,-5 …也是奇数。

2. 有理数的分类：

⑴按有理数的意义分类： ⑵按正、负来分：

正整数 正整数

整数 0 正有理数

负整数 正分数

有理数 有理数 0 （0 不能忽视）

正分数 负整数

分数 负有理数

负分数 负分数

总结 ：①正整数、 0 统称为非负整数（也叫自然数） ；

②负整数、 0 统称为非正整数；

③正有理数、 0 统称为非负有理数；

④负有理数、 0 统称为非正有理数。

三、数轴：

⒈数轴的概念： 规定了原点，正标的目的，单位长度的直线叫做数轴。

注意 ：⑴ 数轴是一条向两端无限延伸的直线；

⑵ 原点、正标的目的、单位长度是 数轴三要素 ，三者缺一不成；

⑶ 同一数轴上的单位长度要统一；

⑷ 数轴的三要素都是按照实际需要规定的。

2. 数轴上的点与有理数的关系：

⑴ 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示， 正有理数可用原点右边的点表示， 负有理数可用原点左边的点

表示， 0 用原点表示。

⑵ 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来， 但数轴上的点不都表示有理数， 也就是说， 有理数与数轴上

的点不是一一对应关系。 （如，数轴上的点 π不是有理数）

3. 利用数轴表示两数大小：

⑴ 在数轴上数的大小比力，右边的数总比左边的数大；

⑵ 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；

⑶ 两个负数比力，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4. 数轴上特殊的最大（小）数：

⑴ 最小的自然数是 0，无最大的自然数；

⑵ 最小的正整数是 1，无最大的正整数；

⑶ 最大的负整数是 -1 ，无最小的负整数

5.a 可以表示什么数 ： ⑴ a>0 表示 a 是正数；反之， a 是正数，则 a>0； ⑵ a<0 表示 a 是负数；反之， a 是负数，则 a<0 

⑶ a=0 表示 a 是 0；反之， a 是 0, ，则 a=0 

6. 数轴上点的移动规律：

按照点的移动，向左移动几个单位长度则减去几， 向右移动几个单位长度则加上几， 则得到所需的点的位置。

四、相反数：

⒈相反数：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数， 0 的相反数是 0。

注意 ：⑴ 相反数是成对出现的；

⑵ 相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶ 0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0。

2. 相反数的性质与判定：

⑴ 任何数都有相反数，且只有一个；

⑵ 0 的相反数是 0； ⑶ 互为相反数的两数和为 0，和为 0 的两数互为相反数，即 a， b 互为相反数，则 a+b=0。

3. 相反数的几何意义：

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（ 0

除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。 0 的相反数对应原点；原点表示 0 的相反数。

说明 ：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4. 相反数的求法：

⑴ 求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“ - ”即可求得（如： 5 的相反数是 -5 ）； ⑵ 求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“ - ”，然后化简（如； 5a+b 的相反数是 - （5a+b）。

化简得 -5a-b ）； ⑶ 求前面带“ - ”的单个数，也应先加括号再添“ - ”，然后化简 ( 如： -5 的相反数是 - （-5 ），化简得 5) 。

5. 相反数的表示方法：

⑴ 一般地，数 a 的相反数是 -a ，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或 0。 当 a>0 时， -a<0 （正数的相反数是负数）

当 a<0 时， -a>0 （负数的相反数是正数）

当 a=0 时， -a=0 ，（0 的相反数是 0）

6. 多重符号的化简：

多重符号的化简规律 : “+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略； “- ”号的个数决定最后化简结果；

即：“- ”的个数是奇数时，结果为负， “- ”的个数是偶数时，结果为正。

五、绝对值：

1. 绝对值的几何定义： 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作 |a| 。

2. 绝对值的代数定义：

⑴ 一个正数的绝对值是它本身；

⑵ 一个负数的绝对值是它的相反数；

⑶ 0 的绝对值是 0。

可用字母表示为： 如果 a>0，那么 |a|=a ；如果 a<0，那么 |a|=-a ；如果 a=0，那么 |a|=0 。

可归纳为： ①： a≥0，<═ > |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ）

3. 绝对值的性质：

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以， a 取任何有理数，都有 |a| ≥0。 ⑴ 0 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0. 即： a=0 < ═ > |a|=0 ； ⑵ 一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0。即： |a| ≥0； ⑶ 任何数的绝对值都不小于原数。即： |a| ≥a； ⑷ 绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若 |x|=a （a>0），则 x=±a； ⑸ 互为相反数的两数的绝对值相等。即： |-a|=|a| 或若 a+b=0，则 |a|=|b| ； ⑹ 绝对值相等的两数相等或互为相反数。即： |a|=|b| ，则 a=b 或 a=-b ； ⑺ 若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即 |a|+|b|=0 ，则 a=0 且 b=0。

（非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为 0）

4. 有理数大小的比力：

⑴利用数轴比力两个数的大小：数轴上的两个数比拟力，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比力两个负数的大小：两个负数比力大小，绝对值大的反而小；异号两数比力大小，正数大于

负数。

5. 绝对值的化简：

①当 a≥0 时， |a|=a ； ②当 a≤0 时， |a|=-a 

6. 已知一个数的绝对值，求这个数：

一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，

它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。

六、有理数的加减法：

1. 有理数的加法法则：

法则一 ：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

法则二 ：绝对值不相等的异号两数相加， 取绝对值较大的加数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

法则三 ：互为相反数的两数相加，和为零；

法则四 ：一个数与零相加，仍得这个数。

2. 有理数加法的运算律：

⑴ 加法交换律 ：a+b=b+a； ⑵ 加法结合律 ：(a+b)+c=a+(b+c) 

在运用运算律时，必然要按照需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

① 相反数结合法 ：互为相反数的两个数先相加；

② 同号结合法 ：符号相同的两个数先相加；

③ 同分母结合法 ：分母相同的数先相加；

④ 凑整法 ：几个数相加得到整数，先相加；

⑤ 同形结合法 ：整数与整数、小数与小数相加。

3. 加法性质：

一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数。即：

⑴ 当 b>0 时， a+b>a； ⑵ 当 b<0 时， a+b

4. 有理数减法法则：

法则 ：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为： a-b=a+(-b) 。

5. 有理数加减法统一成加法的意义：

在有理数加减法混合运算中，按照有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 

和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和”

②按运算意义读作“负 8 减 7 减 6 加 5”

6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

Ⅰ. 同号结合法： （把符号相同的加数相结合）

 (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 

原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）

=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）

=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）

=-49+41 （运用加法法则一进行运算）

=-8 （运用加法法则二进行运算）

Ⅱ. 凑整法：（把和为整数的加数相结合）

 (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 

原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)