★知识梳理★

1. 椭圆定义：

（1）第必然义：平面内与两个定点

的距离之和为常数

的动点

的轨迹叫椭圆,其中两个定点

叫椭圆的焦点.

（2）椭圆的第二定义:平面内到定点

与定直线

(定点

不在定直线

上)的距离之比是常数

(

)的点的轨迹为椭圆

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离彼此转化）.

2.椭圆的方程与几何性质:

标准方程

性

质

参数关系

焦点

焦距

范围

顶点

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

离心率

准线

考点1  椭圆定义及标准方程 

题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能

[解析]按小球的运行路径分三种情况:

(1)

,此时小球经过的路程为2(a－c);

(2)

, 此时小球经过的路程为2(a+c);

(3)

此时小球经过的路程为4a,故选D

1.短轴长为

，离心率

的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（    ）

A.3         B.6         C.12          D.24

2.已知

为椭圆

上的一点，

别离为圆

和圆

上的点，则

的最小值为（    ）

A． 5         B． 7          C ．13          D． 15

3．设k＞1，则关于x，y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是（　　）

A.长轴在x轴上的椭圆      B.实轴在y轴上的双曲线

C.实轴在x轴上的双曲线    D.长轴在y轴上的椭圆

4．椭圆

的长轴长为（    ）

A．2    B.3     C.6     D. 9

5．已知椭圆

（

）的两个焦点为

,以

为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的别的两条边，且

，则

等于___________.

1、利用椭圆的定义求椭圆的标准方程：

  按照动点满足等式的几何意义，写出标准方程；

2、利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程：

  建立关于

的方程或方程组；

3、利用待定系数法求椭圆的标准方程：

（1）如果明确椭圆的焦点在

轴上，那么设所求椭圆的方程为

（2）如果明确椭圆的焦点在

轴上，那么设所求椭圆的方程为

（3）如果椭圆的中心在原点，但焦点的位置不明确是在

轴上，还是在

轴上，那么方程可设为

，进而求解

[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为

－4，求此椭圆方程.

【解题思路】将题中所给条件用关于参数

的式子“描述”出来

[解析]设椭圆的方程为

或

，

则

，

解之得：

，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为

或

.

【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数

的数量关系．

［警示］易漏焦点在y轴上的情况．

1. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

2．已知

是椭圆的两个焦点，过

的直线

交椭圆于

两点，若

的周长为8，则椭圆方程为（    ）

A.

      B.

       C.

      D.

3．已知焦点在

轴上的椭圆的离心率为

，它的长轴长等于圆

的半径，则椭圆的标准方程是（   ）

A．

       B．

     C．

      D．

4.已知方程

,讨论方程表示的曲线的形状

椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是

，求这个椭圆方程.

考点2 椭圆的几何性质

题型1:求椭圆的离心率（或范围）

解题方法归纳：

（1）若给定椭圆的方程，则按照椭圆的焦点位置确定

求出

的值，利用公式

直接求解

（2）由已知转化为

或

，利用公式

或变形

求解

（3）若椭圆方程未知，则按照条件及几何图形建立关于

的关系式，化为关于

的齐次方程，再化为关于

的方程求解 ：或者化为关于

的齐次方程，求

再用

求解

[例3 ] 在

中，

．若以

为焦点的椭圆经过点

，则该椭圆的离心率

           ．

【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定

（2）只要列出

的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）

（3）“焦点三角形”应给予足够关注

【新题导练】

1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为

.

.

.

.

2.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆

的离心率为           

3．已知椭圆方程

，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是（　　）

A.2    B.4    C.8    D.

4．设

别离是椭圆

的左、右焦点，点

在椭圆

上，线段

的中点在

轴上，若

，则椭圆

的离心率为（    ）

A．

      B．

      C．

        D．

5．椭圆

与渐近线为

的双曲线有相同的焦点

,

为它们的一个公共点,且

,则椭圆的离心率为（    )

（A）

     （B)

     （C）

     （D)

6．已知椭圆

的上、下顶点别离为

、

，左、右焦点别离为

、

，若四边形

是正方形，则此椭圆的离心率

等于

A．

            B．

             C．

            D．

7．过点M（1，1）作斜率为﹣

的直线与椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（  ）

A．

        B．

        C．

       D．

8．椭圆

的两个焦点别离是

，若

上的点

满足

，则椭圆

的离心率

的取值范围是（    ）

A．

         B．

       C．

      D．

或

9．椭圆

＋

＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)

A．

       B．

        C．

       D．

题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

[例4 ] 已知实数

满足

,求

的最大值与最小值

【解题思路】 把

看作

的函数

[解析] 由

得

,

当

时,

取得最小值

,当

时,

取得最大值6

【新题导练】

1.已知点

是椭圆

（

，

）上两点,且

,则

=        

2.如图，把椭圆

的长轴

分成

等份，过每个分点作

轴的垂线交椭圆的上半部分于

七个点，

是椭圆的一个焦点

则

________________

3．已知椭圆

上存在两点

、

关于直线

对称，求

的取值范围.

四．椭圆的焦点三角形

例：已知椭圆的两焦点为

、

，

为椭圆上一点，且

。

（1）求此椭圆的方程；

（2）若

在第二象限，

，求

的面积。

1、圆

的焦点为

、

，点

在椭圆上，若

，则

         ；

的大小为         ；

2.设

是椭圆

上的一点，

、

为焦点，

，求

的面积。

3.已知点

是椭圆

上的一点，

、

为焦点，

，求点

到

轴的距离。

4.椭圆

的焦点为

、

，

为其上一动点，当

为钝角时，点

的横坐标的取值范围为           。

5.P为椭圆

上一点，

、

别离是椭圆的左、右焦点。（1）若

的中点是

，求证：

；（2）若

，求

的值。

、

及

；

7.设

别离是椭圆

的左、右焦点，点P在椭圆上，若△

为直角三角形，则△

的面积等于__  

8.已知椭圆

的左、右焦点别离是

、

，点P在椭圆上.

若P、

、

是一个直角三角形的三个顶点，则点P到

轴的距离为（    ）

A. 

           B. 

         C. 

            D. 

或

拓展结论：已知P是椭圆

上的一点, 

为椭圆的两焦点.

(1) 当

时，椭圆上存在4个点，使得

，且

；

(2) 当

时，椭圆上存在2个点，使得

，且

；

(3) 当

时，椭圆上不存在点，使得

，且

.

专题训练：

1.P为椭圆

上一点, 

为焦点，满足

的点的个数为  .(4个)

2.已知

为椭圆的两个焦点，满足

的点M总在椭圆内，则椭圆的离心率为      . (

)

3. 椭圆

的摆布焦点别离为

，且在椭圆上存在点P,使得

,则实数M的取值范围为       .( 

) 扩展

考点3 椭圆的最值问题

[例5 ]椭圆

上的点到直线l:

的距离的最小值为___________．

【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数

[解析]在椭圆上任取一点P,设P(

). 那么点P到直线l的距离为：

【名师指引】也可以直接设点

，用

表示

后，把动点到直线的距离表示为

的函数，关键是要具有“函数思想”

【新题导练】

1.椭圆

的内接矩形的面积的最大值为              

2. 

是椭圆

上一点，

、

是椭圆的两个焦点，求

的最大值与最小值

3.已知点

是椭圆

上的在第一象限内的点，又

、

，

是原点，则四边形

的面积的最大值是_________．

4．已知

是曲线

上的动点，则

的最大值为

A.

              B.

              C.

            D.

5．点

是椭圆

上的一个动点，则

的最大值为（      ）．

A．

             B．

             C．

             D．

6．若点

和点

别离为椭圆

的中心和右焦点，点

为椭圆上的任意一点，则

的最小值为

A．

            B．

               C．

             D．1

7．动点

在椭圆

上,若

点坐标为

,

,且

,则

的最小值是（   )

A.

             B.

               C.

            D.

8．在椭圆

上有两个动点

，

为定点，

，则

的最小值为（    ）

A.6         B.

     C.9      D.

9．若点O和点F别离为椭圆

＋

＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

·

的最大值为(　　)

A.2          B.3           C.6          D.8

考点4.椭圆的中点弦问题

例： （1）已知动点

到直线

的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍，

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

1、直线

交椭圆

于A、B两点，

中点的坐标是

，则直线

的方程为

     　    ；

2、已知椭圆的方程是

，则以点

为中点的弦所在的直线方程是        ．

3.已知椭圆

的右焦点为

,过点

的直线交椭圆于

两点.若

的中点坐标为

,则

的方程为（　　）

   A．

  B．

   C．

      D．

4．中心为

, 一个焦点为

的椭圆,截直线

所得弦中点的横坐标为

,则该椭圆方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

5.直线

过椭圆

的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为　      　．

6．(本题满分12分)

已知定点

及椭圆

,过点

的动直线与该椭圆相交于

两点

(1)若线段

中点的横坐标是

,求直线

的方程;

7．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.

(1)求C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

 8、椭圆Ｃ：

的摆布焦点别离为

、

，点

在椭圆Ｃ上，且

，

。

（I）求椭圆Ｃ的方程；

（II）若直线

过圆

的圆心

交椭圆于

、

两点，且

、

关于点

对称，求直线

的方程。

椭圆专题训练

设经过点F（1,0）的直线

与椭圆

交于A，B两点

（1）若点F恰好为AB的中点，求直线

的方程；   （答案：x=1）

（2）若弦长

，求直线

的方程；  （答案：

）

（3）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线

的方程；（答案：

）

（4）若以AB为直径的圆恰好经过左焦点

，求直线

的方程；（答案：

）

（5）若点M恰好在椭圆上，使得

，求直线

的方程；（答案：

）

（6）若

，求直线

的方程；   （答案：

）

（7）若定点C（0，

），使得

，求直线

的方程；（答案：

）

（8）若动点P在x=2上，使得△PAB为正三角形，求直线

的方程；（答案：

）

（9）若动点P在x=2上，使得

，求直线

的方程；（答案：不存在）

（10）若直线

的斜率为1，使得△ABD为正三角形，求顶点D的坐标；

答案：

或

（11）若

，点T在椭圆上使得△TAB面积为

，求点T的个数；（答案：个数为4）