⾼⼀数学必修⼀知识点总结

　　⾼⼀数学必修⼀的学习，需要⼤家对知识点进⾏总结，这样⼤家最⼤效率地提⾼⾃⼰的学习成绩，

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　　⾼⼀数学必修⼀知识点总结篇1

　　知识点总结

　　本节知识包罗函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的

图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数

的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前⾯的⼏个知识点，函数的图象就迎刃⽽解了。

　　⼀、函数的单调性

1、函数单调性的定义

2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法

　　⼆、函数的奇偶性和周期性

1、函数的奇偶性和周期性的定义

2、函数的奇偶性的判定和证明⽅法

3、函数的周期性的判定⽅法

　　三、函数的图象

1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法

2、图象变换包罗图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

　　常见考法

　　本节是段考和⾼考必不成少的考查内容，是段考和⾼考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答

题都有，并且题⽬难度较⼤。在解答题中，它可以和⾼中数学的每⼀章联合考查，多属于拔⾼题。多考

查函数的单调性、最值和图象等。

　　误区提醒

1、求函数的单调区间，必需先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

2、单调区间必需⽤区间来表⽰，不能⽤集合或不等式，单调区间⼀般写成开区间，不必考虑端点

问题。

3、在多个单调区间之间不能⽤“或”和“”连接，只能⽤逗号隔开。

4、判断函数的奇偶性，⾸先必需考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数

⼀定是⾮奇⾮偶函数。

5、作函数的图象，⼀般是⾸先化简解析式，然后确定⽤描点法或图象变换法作函数的图象。

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

   (3)对数式的真数必需大于零；

(4)指数、对数式的底必需大于零且不等于1. 

第 1 页

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不成以等于零， 

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

◆相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必需同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)不雅观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

第 2 页

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(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4．区间的概念

第 3 页

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

第 4 页

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数   

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)  称为f、g的复合函数。

第 5 页

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

第 6 页

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

 任取x1，x2∈D，且x1

 作差f(x1)－f(x2)；

 变形（通常是因式分解和配方）；

 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

第 7 页

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函不偶偶性的步骤：

第 8 页

首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

确定f(－x)与f(x)的关系；

作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不合错误称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再按照定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)凑配法

2)待定系数法

第 9 页

3)换元法

4)消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

 利用图象求函数的最大（小）值

 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

第 10 页

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴        ⑵   

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_  _   

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是         

4.函数 ，若，则=           

第 11 页

5.求下列函数的值域：

⑴           ⑵ 

(3)               (4)

6.已知函数，求函数，的解析式

7.已知函数满足，则=             。

8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=   

  在R上的解析式为                       

9.求下列函数的单调区间：

⑴   ⑵  ⑶ 

10.判断函数的单调性并证明你的结论．

第 12 页

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．

第三章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

◆负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

第 13 页

，

◆0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·        ；

（2）            ；

（3）        ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

第 14 页

a>1

0

定义域 R

定义域 R

值域y＞0

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

第 15 页

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）

说明： 注意底数的限制，且；

 ；

 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

 常用对数：以10为底的对数；

第 16 页

 自然对数：以无理数为底的对数的对数．

◆指数式与对数式的互化

幂值      真数

＝ N＝ b

                  底数

           指数              对数

（二）对数的运算性质

第 17 页

如果，且，，，那么：

 ·＋；

 －；

   ．

注意：换底公式

    （，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

第 18 页

注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

 对数函数对底数的限制：，且．

2、对数函数的性质：

a>1

0

定义域x＞0

定义域x＞0

值域为R

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点（1，0）

函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

第 19 页

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

第 20 页